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Testez votre logique!

3 octobre 2014 - Curium

antony

Salut!

Je m’appelle Antony Diaz et je suis un jeune passionné des sciences. J’aime relever des défis, explorer de nouveaux trucs, résoudre des problèmes et inventer! Il y a quelques mois, j’ai commencé un projet qui s’appelle « Minute de science » (Minuto de ciencia en espagnol), dans le but d’informer les jeunes de tout ce qui se passe dans le monde des sciences et de partager les connaissances. De cette façon, les connaissances ne se divisent pas, mais se multiplient!

Dans ce blogue, je vais vous démontrer le côté amusant de la science et la beauté des nombres. Vous allez tomber en amour avec eux autant que moi!

Dans moins d’un mois, c’est le Championnat international des jeux mathématiques et logiques. Je profite de l’occasion pour vous proposer trois défis, de différents niveaux.

Attention : ce sont des problèmes de logique, alors rangez vos calculatrices et ne vous cassez pas la tête avec les maths! Pensez !

 

Premier niveau :

5chats

 

Solution:

Si cinq chats chassent cinq souris en cinq minutes, c’est-à-dire qu’un chat chasse une souris en cinq minutes. Donc, un chat va chasser vingt souris en cent minutes. On aura alors besoin de cinq chats pour chasser les cent souris en cinq minutes.

 

Niveau 2 : Pensez-y!

cadre

Complétez l’encadré en écrivant les chiffres manquants. Attention, il faut compter tous les chiffres écrits dans le cadre!

 

Solution:

cadre2

(Source: Demi-finale québécoise 2012-2013 du Championnat international des jeux mathématiques et logiques / Problème 5)

 

Niveau 3 : #RESPECT!

Dans un concours de math, Sara et Pierre jouent à deviner deux nombres. Ces deux nombres (a et b) sont plus grands que 1 et leur somme est égale ou inférieure à 40. Sara connaît la somme (a+b) et Pierre connaît le produit (axb). Après un certain temps, ils ont une conversation:

Pierre: «  Je ne peux pas trouver ces nombres »

Sara:  «  J’étais sûr que tu ne pouvais pas les trouver. Je ne peux pas non plus! »

Pierre: «  Ah! Je les ai trouvés. »

Sara: «  Et bien, si tu les as trouvés, alors je les ai aussi! »

Quels sont ces deux nombres?

 

Solution:

Pierre affirme d’abord qu’il ne peut pas trouver ces nombres (a et b), même s’il connaît leur produit. On peut donc déduire que a et b ne sont pas deux nombres premiers.

Sara affirme qu’elle savait déjà que Pierre ne parviendrait pas à découvrir ces valeurs. Cela signifie que Sara sait, en se basant sur la somme de a et b, qu’il ne peut s’agir de deux nombres premiers. Par conséquent, on peut éliminer toute somme formée par l’addition de deux nombres premiers.

Pour ce faire, on utilise ici la conjecture de Goldbach, selon laquelle tout nombre pair plus grand que 2 peut s’écrire comme la somme de deux nombres premiers. On retire donc de la liste tous les nombres pairs plus grands que 2. On peut ensuite éliminer tous les nombres qui correspondent à la somme de 2 et d’un nombre premier (3+2=5,5+2=7,7+2=9…,37+2=39).

On se retrouve alors avec une série de sept valeurs possibles pour la somme: 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37. Et comme toutes ces sommes sont impaires, nous savons maintenant que a doit être impair et b pair, ou vice versa.

Maintenant, parmi ces sept valeurs possibles, cinq peuvent être obtenues d’au moins deux façons différentes, comme (2^m+q), où m est au moins 2, et q est un nombre premier impair.

Ça me sert à quoi ? Bon, sachant que la somme figure parmi ces nombres, Pierre peut maintenant déterminer les valeurs de a et b, parce que le produit sera de 2m * q, (il ne peut être rompu que dans un sens, puisqu’un nombre doit être pair et l’autre impair). Sara doit donc éliminer les cinq valeurs qui peuvent être obtenues par différentes équations.

11= 8+3=   4+7

17= 4+13

23= 16+7= 4+19

27= 16+11= 8+19= 4+23

29= 2+27= 16+13

35= 32+3= 16+19= 4+23

37= 32+5= 8+29

On se retrouve avec une valeur possible pour la somme: 17 !

 

Maintenant, on va considérer chaque partition possible de 17:

Somme égale à 17 Produits possibles
2+15 2×15 = 6×5 = 3×10 30
3+14 3×14 = 2×21 = 7×6 42
4+13 4×13 52
5+12 5×12 = 2×30 =3×20 60
6+11 6×11   = 2×33 66
7+10 7×10   = 2×35 70
8+9 8×9 = 2×36 72

Notez que, pour la plupart des partitions de 17, nous obtenons au moins deux factorisations distinctes qui ont le même produit. On retient alors celle pour laquelle il n’existe qu’un produit possible : 4 et 13.

 

 

 

(Source : Inspiré du problème « Impossible Puzzle » de Martin Gardner à « Scientific American ». Solution de Antony Diaz, inspirée de celle de « Mathemathics Magazine », Volume 50, Number 5, March 1976, page 268).

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4 réponses à “Testez votre logique!”

  1. Charles Huang dit:

    Antony!!!!!!!brove mon gars,je suis fier de toi.

  2. Ting Wei dit:

    HEY, what’s up Antony!
    ben, logiquement, les pauvres chats qui chassent 20 souris en 100 min sans cesse, seraient probablement morts de la fatigue avant qu’ils attrapent tous les 100 souris, donc y en faut des autres chats pour les remplacer!

  3. Patricia dit:

    Muy interesante estos problemas de lógica ,ya que te ponen a pensar y analizar mas detalladamente.

    me gustaría que nos des mas problemas como estos.

    gracia

  4. gloubi dit:

    Concernant le dernier problème, je pense que le raisonnement avec un 2^m + q qui conduit au 17 est incorrect.

    Un très grand nombre de possibilités continue d’exister tant que Sara n’a pas dit à la fin qu’elle avait trouvé elle aussi.
    Il faut rechercher les décompositions uniques pour tous les a+b possibles 11, 17, 23, 27, 29, 35, 37. Il y en a beaucoup. En revanche, on n’en trouve une seule uniquement quand a+b=17, ce qui nous permet de savoir que Sara ne pouvait avoir que ce nombre sous les yeux.

    Exemple concret de combinaison possible ou Pierre trouve mais pas Sara : Sara a 8+3=11, pierre a 8×3=24;
    Sarah dit que Pierre ne peut pas trouver.
    Pierre en déduit que Sara a 11 (les suivants 17 et + sont impossibles car (17-2)x2 est déjà > 24..)
    Donc Pierre cherche tous les a x b (b pair) correspondant à a+b=11. Il y trouve son 24 une et une seule fois, et en déduit la solution.
    En revanche dans ce cas, Sara ne peut pas trouver car elle hésite entre 2×9, 4×7 et 8×3.